Question

題甲：關于的一元二次方程x²+2x+k+1=0的兩實數根分別是x₁和x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果x₁+x₂-x₁x₂＜-1且k為整數，求k的值．
題乙：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，過D作AC的垂線，垂足為E．
求證：（1）BD=DC；   （2）DE與⊙O相切．
我選做的是______題．

Answer 1

【答案】分析：題甲（1）求出△=2²-4×1×（k+1）=-4k≥0，求出即可；
（2）根據根與系數的關系得出x₁+x₂=-2，x₁•x₂=k+1，推出-2-（k+1）＜-1，求出k的范圍，即可求出k；
題乙（1）連接AD，得出AD⊥BC，根據等腰三角形性質推出BD=DC即可；
（2）連接OD，求出∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，即可得出∠ODE=90°，根據切線的判定推出即可．
解答：題甲解：（1）△=2²-4×1×（k+1）=-4k，
∵方程有兩個實數根，
∴△=-4k≥0，
∴k≤0；
（2）根據根與系數的關系得：x₁+x₂=-2，x₁•x₂=k+1，
∵x₁+x₂-x₁x₂＜-1
∴-2-（k+1）＜-1，
∴k＞-2，
又∵k≤0，且k為整數，
∴k為-1或0．

題乙：證明：（1）連接AD，
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）連接OD，
∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．
點評：本題考查了根與系數的關系和根的判別式，切線的判定，等腰三角形的性質和判定，平行線的判定等知識點，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．