Question

5．如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點A（6，0）和點B（2，0），與y軸交于點C（0，2$\sqrt{3}$），⊙P經過點A、B、C三點．
（1）求二次函數的表達式；
（2）求圓心P的坐標；
（3）二次函數在第一象限內的圖象上是否存在點Q，使得以P、Q、A、B四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標并證明所說的四邊形是平行四邊形；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點A（6，0）和點B（2，0），首先設二次函數的表達式為：y=a（x-6）（x-2），然后將點C（0，2$\sqrt{3}$）代入，即可求得二次函數的表達式；
（2）首先過點P作PD⊥x軸于點D，由垂徑定理即可求得點P的橫坐標，然后設點P的坐標為（4，y），由PB=PC，可得方程4²+（y-2$\sqrt{3}$）²=2²+y²，解此方程即可求得答案；
（3）首先過點P作PQ∥x軸，交二次函數在第一象限內的圖象上點Q，即可求得點Q的坐標，證得PQ=AB，可得四邊形ABPQ是平行四邊形，又由PB=AB=4，證得四邊形ABPQ是菱形．

解答 解：（1）設二次函數的表達式為：y=a（x-6）（x-2），
∵二次函數與y軸交于點C（0，2$\sqrt{3}$），
∴12a=2$\sqrt{3}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-6）（x-2）=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$；

（2）如圖1，過點P作PD⊥x軸于點D，
∴AD=BD，
∵點A（6，0）和點B（2，0），
∴AB=6-2=4，
∴BD=AD=2，
∴OD=OB+BD=4，
設點P的坐標為（4，y），
∵⊙P經過點A、B、C三點，C（0，2$\sqrt{3}$），
∴PC=PB，
∴4²+（y-2$\sqrt{3}$）²=2²+y²，
解得：y=2$\sqrt{3}$，
∴點P的坐標為：（4，2$\sqrt{3}$）；

（3）存在．
如圖2，過點P作PQ∥x軸，交二次函數在第一象限內的圖象上點Q，
則此時Q的縱坐標為2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
解得：x=8，
∴點Q的坐標為：（8，2$\sqrt{3}$），
且PQ=AB=4，
∴四邊形ABPQ是平行四邊形，
∵PB=AB=4，
∴四邊形ABPQ是菱形．

點評 此題屬于二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式、垂徑定理、平行四邊形的判定與性質以及菱形的判定等知識．注意準確作出輔助線，利用方程思想求解是解此題的關鍵．