Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象的頂點為點，與軸交于點，與軸交于、兩點，點在原點的左側，點的坐標為，，．

（）求這個二次函數的表達式．

（）經過、兩點的直線，與軸交于點，在該拋物線上是否存在這樣的點，使以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

（）如圖，若點是該拋物線上一點，點是直線下方的拋物線上一動點，當點運動到什么位置時，的面積最大?求出此時點的坐標和的最大面積．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）存在點，坐標為；（3），最大為．

【解析】

（1）求二次函數的表達式，需要求出A、B、C三點坐標．已知B點坐標，且OB=OC，可知C（0，3），．則A坐標為（-1，0）．將A，B，C三點坐標代入關系式，可求得二次函數的表達式．
（2）已知拋物線關系式，求出頂點D坐標，求出直線CD，E是直線與x軸交點，可得E點坐標．四邊形AECF為平行四邊形，則，∥,即可求出點F的坐標.
（3）G在拋物線上，代入解析式求出G點坐標，過點作軸的平行線與交于點，設，則，可求出線段PQ的長度，，然后求當面積最大時x的值．

（）由已知得：，，

將，，三點的坐標代入，得，

∴．

（）存在．

∵，

∴直線的解析式為：，

∴點的坐標為，

由、、、四點的坐標得：，∥,

∴以、、、為頂點，的四邊形為平移四邊形，

∴存在點，坐標為．

（）過點作軸的平行線與交于點，易得，直線為，

設，則，

，，

當時，最大，此時，最大為．