Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=12，點E是邊CD上的動點（點E不與端點C，D重合），AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點F，H，G，交AB的延長線于點P．
（1）設DE=m（0＜m＜12），試用含m的代數式表示的值；
（2）在（1）的條件下，當時，求BP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過構建相似三角形來求解，過點H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N兩點．那么MH就是三角形ADE的中位線，MH=m，那么HN=12-m，只要證出兩三角形相似，就可表示出FH：HG的值，已知了一組對頂角，一組直角，那么兩三角形就相似，FH：HG=MH：NH，也就能得到所求的值．
（2）可通過構建相似三角形求解，過點H作HK⊥AB于點K，那么HN=KB，MH=AK，根據FH：HG=1：2，就能求出m的值，也就求出了MH，HN的長，又知道了HK的長，那么通過三角形AKH和HKP相似我們可得出關于AK，KH，KP的比例關系，就可求出KP的長，然后BP=KP-KB就能求出BP的長了．
解答：解：（1）過點H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N兩點，
∵FP是線段AE的垂直平分線，
∴AH=EH，
∵MH∥DE，
∴Rt△AHM∽Rt△AED，
∴==1，
∴AM=MD，即點M是AD的中點，
∴AM=MD=6，
∴MH是△ADE的中位線，MH=DE=m，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形ABNM是矩形，
∵MN=AD=12，
∴HN=MN-MH=12-m，
∵AD∥BC，
∴Rt△FMH∽Rt△GNH，
∴，
即（0＜m＜12）；

（2）過點H作HK⊥AB于點K，則四邊形AKHM和四邊形KBNH都是矩形．
∵，
解得m=8，
∴MH=AK=m=8=4，HN=KB=12-m=12-8=8，KH=AM=6，
∵Rt△AKH∽Rt△HKP，
∴，即KH²=AK•KP，
又∵AK=4，KH=6，
∴6²=4•KP，解得KP=9，
∴BP=KP-KB=9-8=1．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，要充分利用好正方形的性質，通過已知和所求的條件構建出相似三角形來求解是解題的關鍵．