Question

（2013•桐鄉市一模）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=50°．將△ABC繞點A逆時針旋轉角θ （0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O．
（1）如圖1，當θ=20°時，∠BOE=

130

度；
（2）當△ABC旋轉到如圖2所在位置時，求∠BOE的度數，并說明理由；
（3）如圖3，在AB和AC上分別截取點B′和C′，使AB=

3

AB′，AC=

3

AC′，連接B′C′，將△AB′C′繞點A逆時針旋轉角θ （0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O，請利用圖3探索∠BOE的度數，直接寫出結果，不必說明理由．

Answer 1

分析：（1））根據全等三角形性質得出AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE=50°，求出∠ABC=∠ADE=∠ACB=∠AED=65°，∠ABD=∠ADB=80°，∠AEC=∠ACE=80°，根據三角形內角和定理求出∠EDO=35°，求出∠DEC=15°，根據三角形內角和定理求出∠DOE即可；
（2）當旋轉到如圖2所在位置時，證△ABD≌△ACE，推出∠AEC=∠ADB，設AD與CE相交于點F，則∠OFD=∠EFA，求出∠EOD=∠EAD=50°即可求出∠BOE=130°；
（3）證相似得出∠ABD=∠ACE，推出∠BOE=180°-（∠ABC+∠ACB），圖4，求出∠BOC=50°，即可求出答案．

解答：解：（1）∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE=50°，
∴∠ABC=∠ADE=∠ACB=∠AED=

1

2

（180°-50°）=65°，
∵AB=AD，∠DAB=θ=20°，
∴∠ABD=∠ADB=

1

2

（180°-20°）=80°，
同理∠AEC=∠ACE=80°，
∴∠EDO=180°-65°-80°=35°，∠DEC=80°-65°=15°，
∴∠DOE=180°-35°-15°=130°，

（2）當旋轉到如圖2所在位置時，

∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
設AD與CE相交于點F，則∠OFD=∠EFA，
∴∠EOD=∠EAD=50°，
∴∠BOE=130°；

（3）50°或130°，如圖

理由是：如圖3，
∵AB=

3

AB′，AC=

3

AC′，
∴

AB

AD

=

AC

AE

=

3

，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACB+∠ABC=180°-∠BAC=180°-50°=130°，
∴∠BOE=180°-（∠OBC+∠BCA+∠ACE）=180°-（∠ABD+∠OBC+∠BCA）=180°-130°=50°；
如圖4，∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-130°=50°，
∴∠BOE=180°-50°=130°．
故∠BOE的度數為50°或130°．
故答案為：130°．

點評：本題考查了相似三角形性質和判定，三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，證明過程類似．