Question

如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點B′處，點A落在A′處．
（1）求證：B′E=BF；
（2）設AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a、b、c之間有何等量關系，并給予說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據題意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接著根據平行線的性質和等腰三角形的判定即可證明B′E=BF；
（2）解答此類題目時要仔細讀題，根據三角形三邊關系求解分類討論解答，要提高全等三角形的判定結合勾股定理解答．
解答：（1）證明：由題意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=B′E，
∴B′E=BF；

（2）a，b，c三者關系不唯一，有兩種可能情況：
（ⅰ）a，b，c三者存在的關系是a²+b²=c²．
證明：連接BE，則BE=B′E，
∵由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c．
在△ABE中，∠A=90°，
∴AE²+AB²=BE²，
∵AE=a，AB=b，
∴a²+b²=c²；

（ⅱ）a，b，c三者存在的關系是a+b＞c．
證明：連接BE，則BE=B′E．
∵由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c，
∵在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴a+b＞c．
點評：此題主要考查了矩形的翻折、等角對等邊、三角形全等、勾股定理等知識，尋找幾何元素之間的對應關系，形成較為常規的方法解決問題，利用等角對等邊、翻折等知識來證明是解題關鍵．