Question

（2013•河東區一模）如圖，已知CD是⊙O的直徑，AC⊥BC，垂足為C，點E為圓上一點，直線BE、CD相交于點A，且∠A+2∠AED=90°．
（Ⅰ）證明：直線AB是⊙O的切線；
（Ⅱ）當BC=1，AE=2，求tan∠OBC的值．

Answer 1

分析：（I）連接OE，CE，OB，求出BC=BE，證出△OEB≌△OCB，推出∠OEB=∠ACB=90°，根據切線的判定推出即可；
（II）證△AEO∽△ACB，推出

OE

BC

=

AE

AC

，求出

OE

BC

=

2

2

，解直角三角形求出即可．

解答：（Ⅰ）證明：連接OE，CE，OB，
∵DC為圓O的直徑，
∴∠DEC=90°，
即∠CEB+∠AED=90°，
∴2∠AED+∠2∠CEB=180°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠A+2∠AED=90°，
∴∠ABC=2∠AED，
∴∠ABC+2∠CEB=180°，
∵∠ABC+∠CEB+∠ECB=180°，
∴∠CEB=∠ECB，
∴BC=BE，
在△OEB和△OCB中

BE=BC OE=OC OB=OB

，
∴△OEB≌△OCB，
∴∠OEB=∠ACB=90°，
即OE⊥AB，
∴AB是⊙O切線．

（Ⅱ）解：∵BE=BC=1，AB=2+1=3，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC=

32-12

=2

2

，
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴△AEO∽△ACB，
∴

OE

BC

=

AE

AC

，
∴

OE

BC

=

2

2 2

=

2

2

，
∴tan∠OBC=

OC

BC

=

OE

BC

=

2

2

．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，切線的判定和性質，相似三角形的性質和判定，解直角三角形的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．