Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點O為底邊上的中點，以點O為圓心，1為半徑的半圓與邊AB相切于點D．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）當∠A=60°時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，過點O作OE⊥AC，垂足為點E．根據等腰三角形三線合一的性質可得出OD=OE，即可得出直線AC與⊙O相切；
（2）根據S_陰影=S_{四邊形ADOE}-S_扇形形ODE即可得出答案，由S_{四邊形ADOE}-=2S_△ADO．可計算∠DOE=120°，BD=

3

3

，OB=

2 3

3

，AD=

3

．

解答：解：（1）直線AC與⊙O相切．（1分）
理由是：連接OD，過點O作OE⊥AC，垂足為點E．
∵⊙O與邊AB相切于點D，
∴OD⊥AB．（2分）
∵AB=AC，點O為底邊上的中點，
∴AO平分∠BAC（3分）
又∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴OD=OE（4分）
∴OE是⊙O的半徑．
又∵OE⊥AC，
∴直線AC與⊙O相切．（5分）

（2）∵AO平分∠BAC，且∠BAC=60°，
∴∠OAD=∠OAE=30°，
∴∠AOD=∠AOE=60°，
在Rt△OAD中，∵tan∠OAD=

OD

AD

，
∴AD=

OD

tan∠OAD

=

3

，同理可得AE=

3

，
∴S_{四邊形ADOE}=

1

2

×OD×AD×2=

1

2

×1×

3

×2=

3

，（6分）
又∵S_扇形形ODE=

120π×12

360

=

1

3

π，（7分）
∴S_陰影=S_{四邊形ADOE}-S_扇形形ODE=

3

-

1

3

π．（8分）

點評：本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質以及扇形面積的計算，將陰影部分的面積轉化成比較熟悉的圖形的面積進行計算．