Question

將半徑為4cm的半圓圍成一個圓錐，在圓錐里有一個內接圓柱（如圖），當圓柱的側面面積最大時，圓柱的底面半徑是

1

cm．

Answer 1

分析：易得扇形的弧長，除以2π也就得到了圓錐的底面半徑，再加上母線長，利用勾股定理即可求得圓錐的高，利用相似可求得圓柱的高與母線的關系，表示出側面積，根據二次函數求出相應的最值時自變量的取值即可．

解答：解：扇形的弧長=4πcm，
∴圓錐的底面半徑=4π÷2π=2cm，
∴圓錐的高為

42-22

=2

3

cm，
設圓柱的底面半徑為r，高為R．

r

2

=

2 3 -R

2 3

，
解得：R=2

3

-

3

r，
∴圓柱的側面積=2π×r×（2

3

-

3

r）=-2

3

πr²+4

3

πr（cm²），
∴當r=

4 3 π

-2×(-2 3 π)

=1cm時，圓柱的側面積有最大值．
故答案為1．

點評：考查了二次函數的最值及圓柱的計算，用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長；圓錐的高，母線長，底面半徑組成直角三角形；相似三角形的相似比相等及二次函數最值相應的自變量的求法等知識．