Question

【題目】等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE繞點A作360°旋轉，點F、M、N分別為線段BE、BC、CD的中點，連接MN、NF．

問題提出：（1）如圖1，當AD在線段AC上時，則∠MNF的度數為　 　，線段MN和線段NF的數量關系為 　；

深入討論：（2）如圖2，當AD不在線段AC上時，請求出∠MNF的度數及線段MN和線段NF的數量關系；

拓展延伸：（3）如圖3，△ADE持續旋轉過程中，若CE與BD交點為P，則△BCP面積的最小值為　　．

Answer 1

【答案】（1）45°，NF＝MN；（2）∠MNF＝45°，NF＝MN；（3）4

【解析】

（1）如圖1，連接DB，MF，CE，延長BD交EC于H．證明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，再根據三角形中位線定理即可解決問題．

（2）如圖2，連接MF，EC，BD．設EC交AB于O，BD交EC于H．證明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，再利用三角形中位線定理即可解決問題．

（3）如圖3中，如圖3中，如圖以A為圓心AD為半徑作⊙A．當直線PB與⊙A相切時，△BCP的面積最小．

解：（1）如圖1中，連接DB，MF，CE，延長BD交EC于H．

∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，

∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，

∴∠CDH+∠DCH＝90°，

∴∠CHD＝90°，

∴EC⊥BH，

∵BM＝MC，BF＝FE，

∴MF∥EC，MF＝EC，

∵CM＝MB，CN＝ND，

∴MN∥BD，MN＝BD，

∴MN＝MF，MN⊥MF，

∴∠NMF＝90°，

∴∠MNF＝45°，NF＝MN．

故答案為：45°；NF＝MN．

（2）：如圖2中，連接MF，EC，BD．設EC交AB于O，BD交EC于H．

∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，

∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，

∴∠OBH+∠BOH＝90°，

∴∠BHO＝90°，

∴EC⊥BD，

∵BM＝MC，BF＝FE，

∴MF∥EC，MF＝EC，

∵CM＝MB，CN＝ND，

∴MN∥BD，MN＝BD，

∴MN＝MF，MN⊥MF，

∴∠NMF＝90°，

∴∠MNF＝45°，NF＝MN．

（3）：如圖3中，如圖以A為圓心AD為半徑作⊙A．

當直線PB與⊙A相切時，此時∠CBP的值最小，點P到BC的距離最小，即△BCP的面積最小，

∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，

∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，

∴∠CPB＝90°，

∵PB是⊙A的切線，

∴∠ADP＝90°，

∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，

∴四邊形ADPE是矩形，

∵AE＝AD，

∴四邊形ADPE是正方形，

∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，

∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，

∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．