Question

如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，過C點作CD⊥AB，垂足為D，且AD=m，BD=n，AC²：BC²=2：1，又關于x的方程x²-2（n-1）x+m²-12=0兩實數根的差的平方小于192，求：m，n為整數時，一次函數y=mx+n的解析式．

Answer 1

【答案】分析：根據△ABC∽△ACD，求出m和n之間的關系式；再根據根與系數的關系求出m、n的取值范圍，然后估算，即可求得一次函數的解析式．
解答：解：易證△ABC∽△ACD，∴=，AC²=AD•AB，同理BC²=BD•AB，
∴=，∵=，∴=，∴m=2n…①，
∵關于x的方程x²-2（n-1）x+m²-12=0有兩實數根，
∴△=[-2（n-1）]²-4××（m²-12）≥0，
∴4n²-m²-8n+16≥0，把①代入上式得n≤2…②，
設關于x的方程x²-2（n-1）x+m²-12=0的兩個實數根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=8（n-1），x₁•x₂=4（m²-2），
依題意有（x₁-x₂）²＜192，即[8（n-1）]²-16（m²-12）＜192，
∴4n²-m²-8n+4＜0，把①式代入上式得n＞…③，由②、③得＜n≤2，
∵m、n為整數，∴n的整數值為1，2，
當n=1，m=2時，所求解析式為y=2x+1，當n=2，m=4時，解析式為y=4x+2．
點評：此題結合了相似三角形和根的判別式，還要對整數值進行估算，難度較大，有利于培養同學們鉆研和探索問題的能力．