Question

（2004•哈爾濱）如圖：已知，△ABC內接于⊙O，弦BC所對的劣弧為120°，∠ABC、∠ACB的平分線BD、CE分別交AC于D，交AB于E，BD、CE相交于點F．
（1）求cot∠EFB的值；
（2）求證：EF=DF；
（3）當BF=3EF，且線段BF、CF的長是關于x的方程x²-（2m+6）x+2m²=0（m＞0）的兩個實數根時，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求∠EFB的余切值，由于不存在直角三角形，我們可通過角的度數來求解，要求∠EFB的度數也就是求∠CFD的度數，根據圓周角定理等及三角形外角的性質可求得其度數，再根據三角函數即可求解；
（2）在BC上截取BM=BE，連接MF，則可證△BMF≌△BEF，得EF=MF，再證△CMF≌△CDF，進一步得MF=FD，所以EF=FD；
（3）過點M作MN∥EC交BD于點N，根據已知及相似三角形的判定得到△BNE∽△BCF，那么可通過得出的BF，CF，EF的關系結合BF+CF=2m+6，BF•CF=2m²，來求出m和EF的值，然后可過E作BF的垂線，根據勾股定理求出BE的長，進而根據三角形BEF和BDA相似得出AB的長．
解答：（1）解：∵劣弧BC的度數為120°
∴∠BAC=60°
∴∠ABC+∠ACB=120°
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB
∴∠CBD+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=60°
∴∠CFD=60°
∴∠BFE=60°
∴cot∠BFE=cot60°=；

（2）證明：在BC上截取BM=BE，連接MF
∵∠MBF=∠EBF，BF=BF
∴△BFM≌△BFE
∴MF=EF，∠BFM=∠BFE=60°
∴∠CFM=180-60-60=60°=∠CFD
∵CF=CF，∠MCF=∠DCF
∴△CMF≌△CDF
∴MF=EF
∴EF=DF；

（3）解：過E作EN∥MF，那么∠FEN=∠CFM=∠EFN=60°
∴△EFN是等邊三角形
∴EF=EN=FN
∵BF=3FD=3EF
∴BN=2EF
∵∠ABD=∠CBD，∠BNE=∠BFC=180-60=120°
∴△BFC∽△BNE
∴BN：EN=BF：CF
即2EF：EF=BF：CF
∴BF=2CF=3EF
∴CF=EF
設EF=2k，那么BF=6k，CF=3k，由題意可得：

解得：k=2
∴BF=12，CF=6，EF=4
過E作EH⊥BD于H
∴EH=EF•sin60°=2
∴FH=2
∴BH=BF-2=10
直角三角形BEH中，根據勾股定理可得：BE=4
∵∠A=∠BFE=60°，∠FBE=∠ABD
∴△FBE∽△ABD
∴BE：BF=BD：AB
∵BE=4，BF=12，BD=BF+FD=16
∴AB=．
點評：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質等知識點，在（3）中準確的判斷出BF，CF的關系是解題的關鍵．