Question

四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60度，∠ADC=120度，求證：BD=AD+CD．

Answer 1

【答案】分析：首先延長AD到E，使DE=DC，連接CE，由∠ADC=120°，可得∠1=60°，再有DE=DC可根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊角形證出△DEC是等邊三角形，同理證出△ABC也是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得：AB=CB，DC=CE，∠3=∠4=60°，進而得到∠BCD=∠ACE，再證明△BCD≌△ACE，得出BD=AE，由AE=AD+DE，DE=DC進行等量代換可得BD=AD+CD．
解答：證明：延長AD到E，使DE=DC，連接CE，
∵∠ADC=120°，
∴∠1=180°-120°=60°，
∵DC=DE，
∴△DEC是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊角形），
∴DC=CE，∠4=60°，
∵∠ABC=60°，AB=CB，
∴△ABC是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊角形），
∴AC=CB，∠3=60°，
∴∠3=∠4=60°，
∴∠3+∠5=∠4+∠5，
即：∠BCD=∠ACE，
∵在△BCD和△ACE中：
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE（全等三角形對應邊相等），
∵AE=AD+DE=AD+DC，
∴DB=AD+DC．
點評：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是正確作出輔助線，證出△DEC和△ABC是等邊三角形，再證出△BCD≌△ACE．