Question

7、如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分線交AD于E，若AC=4則．①△CDE的周長比△CDA的周長小4，②∠ACD=90°；③AE=ED=CE；④四邊形ABCD面積是12．則上述結論正確的是（　　）

A、①②④

B、①②③

C、②③④

D、①②③④

Answer 1

分析：根據平行四邊形的性質AB=CD=3，AD=BC=5，又因為AC=4，根據勾股定理，∠ACD=90°，四邊形ABCD面積為CD×AC=3×4=12，AC的垂直平分線交AD于E，所以AE=CE，（因為垂直平分線上的點到兩邊的距離相等，）又∠ACD=90°所以CE=AE=CD，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即AE=DE=CE=2.5，所以△CDE的周長比△CDA的周長小4

解答：解：∵CD=AB=3，AD=BC=5，AC=4，
∴CD²+AC²=AD²，
∴∠ACD=90°，
故②正確．
∵∠ACD=90°，
∴四邊形ABCD面積為CD×AC=3×4=12．
故④正確．
∵AC的垂直平分線交AD于E，
∴AE=CE，
又∵∠ACD=90°，
∴AE=CE=DE=2.5，
故③正確．
∵AE=CE=DE=2.5，CD=3，AC=4，AD=5，
∴△CDE的周長比△CDA的周長小4，
故①正確．
故選D．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理以及線段的垂直平分線的性質以及直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，關鍵是熟練掌握這些性質．