Question

（2009•梅州）如圖所示，已知直線L過點A（0，1）和B（1，0），P是x軸正半軸上的動點，OP的垂直平分線交L于點Q，交x軸于點M．
（1）直接寫出直線L的解析式；
（2）設OP=t，△OPQ的面積為S，求S關于t的函數關系式；并求出當0＜t＜2時，S的最大值；
（3）直線L₁過點A且與x軸平行，問在L₁上是否存在點C，使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點C的坐標，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知直線L過A，B兩點，可將兩點的坐標代入直線的解析式中，用待定系數法求出直線L的解析式；
（2）求三角形OPQ的面積，就需知道底邊OP和高QM的長，已知了OP為t，關鍵是求出QM的長．已知了QM垂直平分OP，那么OM=t，然后要分情況討論：
①當OM＜OB時，即0＜t＜2時，BM=OB-OM，然后在等腰直角三角形BQM中，即可得出QM=BM，由此可根據三角形的面積公式得出S與t的函數關系式．
②當OM＞OB時，即當t≥2時，BM=OM-OB，然后根據①的方法即可得出S與t的函數關系式．
然后可根據0＜t＜2時的函數的性質求出S的最大值；
（3）如果存在這樣的點C，那么CQ=QP=OQ，因此C，O就關于直線BL對稱，因此C的坐標應該是（1，1）．那么只需證明CQ⊥PQ即可．分三種情況進行討論．
①當Q在線段AB上（Q，B不重合），且P在線段OB上時．要證∠CQP=90°，那么在四邊形CQPB中，就需先證出∠QCB與∠QPB互補，由于∠QPB與∠QPO互補，而∠QPO=∠QOP，因此只需證∠QCB=∠QOB即可，根據折疊的性質，這兩個角相等，由此可得證．

②當Q在線段AB上，P在OB的延長線上時，根據①已得出∠QPB=∠QCB，那么這兩個角都加上一個相等的對頂角后即可得出∠CQP=∠CBP=90度．
③當Q與B重合時，很顯然，三角形CQP應該是個等腰直角三角形．
綜上所述即可得出符合條件C點的坐標．
解答：解：由題意得
（1）y=1-x；

（2）∵OP=t，
∴Q點的橫坐標為，
①當，即0＜t＜2時，，
∴S_△OPQ=t（1-t）．
②當t≥2時，QM=|1-t|=t-1，
∴S_△OPQ=t（t-1）．
∴
當0＜t＜1，即0＜t＜2時，S=t（1-t）=-（t-1）²+，
∴當t=1時，S有最大值；


（3）由OA=OB=1，
所以△OAB是等腰直角三角形，
若在L₁上存在點C，使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形，
則PQ=QC，
所以OQ=QC，又L₁∥x軸，則C，O兩點關于直線L對稱，
所以AC=OA=1，得C（1，1）．下面證∠PQC=90度．連CB，則四邊形OACB是正方形．
①當點P在線段OB上，Q在線段AB上（Q與B、C不重合）時，如圖-1．
由對稱性，得∠BCQ=∠QOP，∠QPO=∠QOP，
∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°，
∴∠PQC=360°-（∠QPB+∠QCB+∠PBC）=90度．
②當點P在線段OB的延長線上，Q在線段AB上時，如圖-2，如圖-3
∵∠QPB=∠QCB，∠1=∠2，
∴∠PQC=∠PBC=90度．
③當點Q與點B重合時，顯然∠PQC=90度．
綜合①②③，∠PQC=90度．
∴在L₁上存在點C（1，1），使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形．
點評：本題結合了三角形的相關知識考查了一次函數及二次函數的應用，要注意的是（2）中為保證線段的長度不為負數要分情況進行求解．（3）中由于Q，P點的位置不確定，因此要分類進行討論不要漏解．