Question

如圖，在直角坐標系中，⊙M外接于矩形OABC，AB=3，BC=4，點A在y軸上，點C在x軸上．
（1）過點A作⊙M的切線交x軸于點P，求直線PA的解析式；
（2）點F為線段PC上的一點，連接AF，若AF將四邊形ABCP面積平分，求點F的坐標；
（3）如果點E為PA上的一個動點（不運動到點P，點A），直線EF將四邊形PABC的周長平分，設點E縱坐標為t，△PEF的面積為S，求S與t的函數關系式，并求自變量t的取值范圍；直線EF能否將四邊形PABC的周長和面積同時平分？若存在，請求出直線EF的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，則AC⊥AP，先求出PO，再求出點P坐標，就可得出PA的解析式；
（2）先求出四邊形PABC的面積，再設PF，求出PF的長度，就可得出點F的坐標；
（3）過E作EN⊥x軸于N，由三角形相似得出各線段比，然后求出PE，PF，再得出t的取值范圍，然后用t表示S，最后由△得出EF，不存在．
解答：解：（1）連接AC，則AC⊥AP，PO=，
∴P（，0），直線PA的解析式為；

（2）S_PABC=，設PF=a，
則，，
∴F（，0）；

（3）過E作EN⊥x軸于N，，，PE=，
四邊形PABC的周長是22，直線EF將周長平分，
PE+PF=11，PF=11，
S=．
由解得，
由，化簡得5t²-33t+68=0，
△=1089-1360＜0，
所以這樣的EF不存在．
點評：本題涉及一次函數的綜合性質，難度中上．