Question

梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=α（0°＜α＜90°），AB=DC=3，BC=5．點P為射線BC上動點（不與點B、C重合），點E在直線DC上，且∠APE=α．記∠PAB=∠1，∠EPC=∠2，BP=x，CE=y．
（1）當點P在線段BC上時，寫出并證明∠1與∠2的數量關系；
（2）隨著點P的運動，（1）中得到的關于∠1與∠2的數量關系，是否改變？若認為不改變，請證明；若認為會改變，請求出不同于（1）的數量關系，并指出相應的x的取值范圍；
（3）若cosα=

1

3

，試用x的代數式表示y．

Answer 1

分析：（1）∠APC是△ABP的外角，根據外角等于不相鄰的兩個內角之和易得∠1=∠2；
（2）當BP＞5時，∠1與∠2的數量關系顯然會改變．根據三角形內角和定理得新的關系；
（3）分兩種情形分別求解．①當點P在線段BC上時，根據△ABP∽△PCE得關系求解；②當點P在線段BC的延長線上時，根據△EPC∽△EGP得關系求解．

解答：（1）∠1=∠2
證明：∵∠APC=∠ABC+∠1，又∠APC=∠APE+∠2，
∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2，
∵∠ABC=α=∠APE，∴∠1=∠2
（2）會改變，當點P在BC延長線上時，即x＞5時
∠1與∠2的數量關系不同于（1）的數量關系．
解：∵∠APE=α=∠ABC，∴∠APB=α-∠2，-------------------（1分）
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，∴α+∠1+α-∠2=180°，----（1分）
∴∠1-∠2=180°-2α．-------------------------------------------------（1分）

（3）①當點P在線段BC上時，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，-------------------------------------------------------（1分）
∴

AB

PC

=

BP

CE

，------------------------------------------------------------（1分）
即

3

5-x

=

x

y

，∴y=

5

3

x-

1

3

x2．------------------------------------（2分）
②當點P在線段BC的延長線上時，
可得△EPC∽△EGP，∴EP²=EC•EG--------------------------（1分）
作AM∥CD．
∵AB=3，cosα=

1

3

，
∴BM=2．
∴GC=

3

x-2

(x-5)
作EK⊥BP，由cosα=

1

3

得CK=

1

3

y，KE=

2 2

3

y，∴KP=x-5-

1

3

y
∴EP2=(

2 2

3

y)2+(x-5-

1

3

y)2，
于是y(y+

3(x-5)

x-2

)=(

2 2

3

y)2+(x-5-

1

3

y)2
即y2+

3

x-2

(x-5)y=

8

9

y2+(x-5)2-

2

3

(x-5)y+

1

9

y2
亦即y=

3x2-21x+30

2x+5

-----------------------------------------------（2分）

點評：此題考查梯形中有關相似三角形的判定和性質的綜合應用，特別是動態問題綜合性強，難度大．