Question

已知M，N為正整數，并且A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

），B=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

n

）（1+

1

n

）．
證明：（1）A=

m+1

2m

，B=

n+1

2n

．
（2）A-B=

1

26

，求m和n的值．

Answer 1

分析：（1）每個括號的結果都是一個分數，這幾個分數相乘后，只剩下第一個和最后一個分數沒有化簡，相乘即可，依此方法可得B的值；
（2）根據（1）得到的規律，得到關于m，n的式子，易得m，n中有一個是13的倍數，根據互質的原則判斷出相應的整數解即可．

解答：解：（1）原式=

1

2

×

3

2

×

4

3

×

3

4

×…×

m-1

m

×

m+1

m

=

1

2

-

m+1

m

=

m+1

2m

；
同理得B=

n+1

2n

；
（2）∵A-B=

1

26

，
∴

m+1

2m

-

n+1

2n

=

1

26

，
∴

n-m

mn

=

1

13

，
∵m，n均為正整數，
∴n＞m，
∵n-m與mn互質，13又是質數，
∴m，n中至少有一個是13的倍數，設n=13k（k∈N⁺）
∴

13k-m

13km

=

1

13

，
13k-m=km，
m=

13k

k+1

=

13(k+1)-13

k+1

=13-

13

k+1

，
∵k與k+1互質，m∈N⁺，
∴有k+1整除13，得到：k=12，
∴n=13×12=156，m=12，
當m=13k時，n=

13k

1-k

＜0（k∈N⁺），矛盾．
∴n=156，m=12．

點評：考查數字的變化規律及應用規律進行計算；判斷出各個數相乘的結果最后只剩第一個分數與最后一個分數相乘，是解決本題的突破點；判斷出m，n中有一個數是13的倍數是解決本題的難點．