Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，設拋物線的頂點為點．

（1）求該拋物線的解析式與頂點的坐標．

（2）試判斷的形狀，并說明理由．

（3）坐標軸上是否存在點，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是直角三角形，理由見解析；（3）存在，．

【解析】

（1）已知了拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數法求出該拋物線的解析式，進而可用配方法或公式法求得頂點D的坐標．

（2）根據B、C、D的坐標，可求得△BCD三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可．

（3）假設存在符合條件的P點；首先連接AC，根據A、C的坐標及（2）題所得△BDC三邊的比例關系，即可判斷出點O符合P點的要求，因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求，可根據相似三角形的性質（或射影定理）求得OP的長，也就得到了點P的坐標．

（1）設拋物線的解析式為．

由拋物線與y軸交于點，可知

即拋物線的解析式為

把代入

解得

∴拋物線的解析式為

∴頂點D的坐標為

（2）是直角三角形．

過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F

在中，

∴

在中，

∴

在中，

∴

∴

∴是直角三角形．

（3）連接AC，根據兩點的距離公式可得：，則有，可得，得符合條件的點為．

過A作交y軸正半軸于，可知，求得符合條件的點為

過C作交x軸正半軸于，可知，求得符合條件的點為

∴符合條件的點有三個：．