Question

我們定義：“四個頂點都在三角形邊上的正方形是三角形的內接正方形” ．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如圖，四邊形CDEF是△ABC的內接正方形，則正方形CDEF的邊長a₁是            ；

（2）如圖，四邊形DGHI是（1）中△EDA的內接正方形，則第2個正方形DGHI的邊長a₂=              ；繼續在圖2中的△HGA中按上述方法作第3個內接正方形；…以此類推，則第n個內接正方形的邊長a_n=              ．（n為正整數）

Answer 1

2，，

（1）由正方形的性質可以得出△BFE∽△BCA，再根據相似三角形的性質就可以把正方形CDEF的邊長表示出來，從而得出結論．
（2）由正方形的性質可以得出△EIH∽△EDA，再根據相似三角形的性質就可以把正方形IDGF的邊長表示出來，從而得出結論，通過計算得出的結論尋找其中的變化規律就可以得出第n個內接正方形的邊長的值．
解：（1）四邊形CDEF是正方形，
∴EF=FC，EF∥FC，
∴△BFE∽△BCA，
∴=．設EF=FC=a，
∴=，
∴a=2，
故答案是：2
（2）如圖（2）四邊形DGHI是正方形，
∴IH=ID，IH∥AD，
∴△EIH∽△EDA，
∴=，設IH=ID=b，AD=4，DE=2，
∴=，
∴b=，
故答案是：，
如圖（3）由以上同樣的方法可以求得正方形PGQS的邊長為：=，
∴第4的個正方形的邊長為：=…
∴第n個內接正方形的邊長a_n=
故答案為：．

本題考查了正方形的性質的運用，相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用及規律的探索．