Question

【題目】如圖，ΔABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．

（1）求證：EF＝BC；

（2）若∠ABC=60，∠ACB=25，求∠FGC的度數．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）85°．

【解析】

（1）由旋轉的性質可得AC=AF，利用SAS證明△ABC≌△AEF，根據全等三角形的對應邊相等即可得出EF=BC；
（2）先證明△ABC是等邊三角形，求出∠AEB的度數，再根據△ABC≌△AEF求出∠AEF的度數，進而求出∠GEC的度數，再根據三角形外角的性質即可求出∠FGC的度數.

（1）證明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC與△AEF中，

，

∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF=BC；

（2）解：∵AB=AE，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，

∴∠AEB=60°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠AEF=∠ABE=60°，

∠GEC=180°-60°-60°=60°，
∴∠FGC=∠GEC +∠C=60°+25°=85°．