Question

在坐標平面中，直線y=x+5分別交x軸、y軸于A、B，直線y=-2x+20分別交x軸、y軸于C、D，直線AB、CD相交于E，
（1）求點E的坐標；
（2）點P為線段AE上的一點，過點P作x軸的平行線分別交直線CB、CD于F、G，設P點的橫坐標為m，線段PF的長度為d，求d與m的函數關系式（直接寫出自變量m的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當直線EF把△BCD的面積分成2：3兩部分時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）聯立兩直線解析式，解二元一次方程組即可求出點E的坐標；
（2）先求出點B、C的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后分①當點P在線段AB上時，根據點P、F、G的縱坐標相同表示出點P、F的坐標，然后根據PF的長度等于點F的橫坐標減去點P的橫坐標，計算即可得解；②當點P在線段EB上時，根據點P、F、G的縱坐標相同表示出點P、F的坐標，然后根據PF的長度等于點P的橫坐標減去點F的橫坐標，計算即可得解；
（3）先求出點D的坐標，再求出點G的坐標，然后表示出FG，然后求出△BCD的面積，再分①點P在AB上時，根據△EFC的面積占2份列式求解即可得到m的值；②點P在EB上時，設EF與y軸的交點為M，根據△DME的面積占2份列式求出DM的長，從而求出點M的坐標，然后求出直線EM的解析式，再與直線BC的解析式聯立求解即可得到F的坐標，然后根據與點P的縱坐標相等計算即可求出m的值．

解答：解：（1）聯立

y=x+5 y=-2x+20

，
解得

x=5 y=10

．
所以，點E（5，10）；

（2）由題意可知B（0，5），C（10，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，則

5=b 0=10k+b

，
解得

k=- 1 2 b=5

，
∴直線BC的解析式為y=-

1

2

x+5，
①當點P在線段AB上時（如圖1），
∵P、F、G三點具有相同的縱坐標，
∴P（m，m+5），F（-2m，m+5），
∴d=-2m-m=-3m （-5≤m＜0），
②當點P在線段EB上時（如圖2），
∵P、F、G三點具有相同的縱坐標，
∴P（m，m+5），F（-2m，m+5），
∴d=m-（-2m）=3m（0＜m≤5）；

（3）D（0，20），G（

15-m

2

，m+5），FG=

15-m

2

-（-2m）=

15+3m

2

，
S_△DBC=

1

2

DB×OC=

1

2

×15×10=75，
①如圖1，當S_△EFC：S_△DBC=2：5時，S_△EFC=30，
∴S_△EFC=

1

2

×

15+3m

2

×10=30，
∴m=-1，
②如圖2，EF交y軸于點M，當S_△DME：S_△DBC=2：5時，S_△DME=30，
∴DM=12∴M（0，8），
可求直線EM的解析式為y=

2

5

x+8，
∵

y= 2 5 x+8 y=- 1 2 x+5

，
∴

k=- 10 3 b= 20 3

，
∴F（-

10

3

，

20

3

），
∴m+5=

20

3

，
∴m=

5

3

，
∴當直線EF把△BCD的面積分成2：3兩部分時，m的值為-1或

5

3

．

點評：本題考查了一次函數綜合題，主要利用了待定系數法求一次函數解析式，聯立兩直線解析式求交點坐標，三角形的面積，難點在于要根據動點P的位置分情況討論．