Question

已知一次函數y=2x-k與反比例函數y=的圖象相交于A和B兩點，其中有一個交點A的橫坐標為3．
（1）分別求兩個函數的關系式；
（2）求A、B兩點的坐標及△AOB的面積；
（3）若直線AB上有一點P，使得△APO∽△AOB，求P點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先把A的橫坐標為3代入兩個函數的解析式中，然后就可以確定k的值，進而得出兩個函數的關系式；
（2）利用兩個函數的解析式組成方程組，解方程組就可以得到A，B兩點的坐標；求出直線AB與x軸的交點坐標，然后利用面積的分割法求出△AOB的面積；
（3）先根據AB兩點的坐標得出OA²及AB的長，再由△APO∽△AOB得出=，故可得出AP的長，因為點P在直線y=2x-4上，所以設P（x，2x-4），根據兩點間的距離公式即可得出AP的表達式，得出x的值，進而得出結論．
解答：解：（1）∵一次函數y=2x-k與反比例函數y=的圖象相交于A和B兩點，其中有一個交點A的橫坐標為3，
∴，
解得k=4．
∴一次函數的解析式為：y=2x-4；反比例函數的關系式為：y=；

（2）∵一次函數的解析式為y=2x-4；反比例函數的關系式為y=，
∴2x-4=，解得x₁=3，x₂=-1，
∴A（3，2），B（-1，-6）；
∵令直線AB解析式y=2x-4中y=0，
解得x=2，
∴直線AB與x軸交點坐標為C（2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=×2×2+×2×|-6|=8；

（3）∵A（3，2），B（-1，-6），
∴OA²=3²+2²=13，AB==4
∵△APO∽△AOB，
∴=，
∴OA²=AP•AB，即13=AP•4，
解得AP=，
∵點P在直線y=2x-4上，
∴設P（x，2x-4），
∴AP=，
解得x=3±，
∴P點坐標為（3+，2+2）或（3-，6-2）．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，熟知反比例函數圖象上點的坐標特點及兩點間的距離公式是解答此題的關鍵．