Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a，在線段BC上任取一點P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點E．
（1）試確定CP=3，點E的位置；
（2）若設CP=x，BE=y，試寫出y關于自變量x的函數關系式；
（3）若在線段BC上能找到不同的兩點P₁，P₂使按上述作法得到的點E都與點A重合，試求出此時a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當CP=3時，易知四邊形ADPB是矩形，由DP⊥BC，PE⊥DP，得出點E與點B重合；
（2）作DF⊥BC，F為垂足．欲求y關于自變量x的函數關系式，分為兩種情況點P在BF上，點P在CF上，通過證明Rt△PEB∽Rt△DPF分別得出；
（3）點E與點A重合，求出此時a的取值范圍，可由（2）得出函數關系式，根據題意及根的判別式得出．

解答：解：（1）作DF⊥BC，F為垂足．
當CP=3時，
∵四邊形ADP（F）B是矩形，則CF=3，
∴點P與F重合．
又BF⊥FD，
∴此時點E與點B重合；（2分）

（2）當點P在BF上時，
因而Rt△PEB∽Rt△DPF
∴

BE

BP

=

FP

FD

①
y=-

(12-x)(x-3)

a

=-

(x2-15x+36)

a

②
當點P在CF上時，同理可求得y=

(x2-15x+36)

a

；（6分）

（3）當點E與A重合時，y=EB=a，此時點P在線段BF上，
由②得，a=

(x2-15x+36)

a

，
整理得，x²-15x+36-a²=0 ③
由于在線段BC上能找到兩個不同的點P₁與P₂滿足條件，也就是說方程③有兩個不相等的正根（8分）
故有△=（-15）²-4×（36-a²）＞0．
解得：a²＜

81

4

，
又∵a＞0，
∴0＜a＜

9

2

．（只寫a＜

9

2

不扣分）（10分）

點評：本題數形結合，綜合考查了直角梯形的性質，相似三角形的性質與函數的關系，函數中根的判別式的應用．