Question

點O是三角形ABC所在平面內一動點，連接OB、OC，并將AB、OB、OC、AC中點D、E、F、G，依次連接起來，設DEFG能構成四邊形．
（1）如圖，當點O在△ABC內時，求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）當點O在△ABC外時，（1）的結論是否成立？（畫出圖形，指出結論，不需說明理由；）
（3）若四邊形DEFG是菱形，則點O的位置應滿足什么條件？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）根據平行四邊形的判定性質求證．
（3）把結論當做已知條件，由結論推出已知．
解答：證明：（1）∵AB、OB、OC、AC中點分別為D、E、F、G
∴DG、EF分別為△ABC和△OBC的中位線
∴DG∥BC  EF∥BC DG=BC  EF=BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）解：成立，
理由是：如圖所示，
∵由（1）知，DG∥BC  EF∥BC DG=BC  EF=BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（3）當點O滿足OA=BC，四邊形DEFG是菱形．
由三角形中位線性質得DE=EF，
所以平行四邊形DEFG是菱形．
點評：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．