Question

規定三角形的三條內角平分線的交點叫三角形的內心．
（1）已知I為三角形ABC的內心，連接AI交三角形ABC的外接圓于點D，如圖所示，連接BD和CD，求證：BD=CD=ID．
（2）己知三角形ABC，AD平分∠BAC且與它的外接圓交于點D，在線段AD上有一點I滿足BD=ID．試問點I是否是三角形ABC的內心？若是加以證明；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BI，根據三角形的內切圓的意義和圓周角定理得到BD=DC，根據三角形外角性質求出∠IBD=∠BID，根據等腰三角形的判定求出BD=ID即可；
（2）連接BI，根據等腰三角形的性質求出∠BID=∠IBD，推出∠ABI=∠CBI，得出I是∠BAC何∠ABC的平分線的交點即可．
解答：（1）證明：

連接BI，
∵I是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠DAC，∠ABI=∠CBI，
∴弧BD=弧DC，
∴BD=DC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠DBC，
∵∠CAD=∠BAD=∠DBC，
∴∠DBI=∠BID，
∴BD=DI，
∴BD=CD=ID．

（2）答：I是三角形ABC的內心．
證明：連接BI，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠DBC，BD=ID，
∴∠BID=∠IBD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠DBC，
∴∠ABI=∠CBI=∠BID-∠BAI，
∴∠ABI=∠CBI，
即I在∠ABC的平分線上，
即I是∠BAC何∠ABC的平分線的交點，
∴I也在∠ACB的角平分線上，
即I是三角形ABC的內心．
點評：本題主要考查對等腰三角形的性質和判定，三角形的內切圓與內心，三角形的外角性質，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間關系等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．