Question

如圖，在直角坐標系中，點為函數在第一象限內的圖象上的任一點，點的坐標為，直線過且與軸平行，過作軸的平行線分別交軸，于，連結交軸于，直線交軸于．

（1）求證：點為線段的中點；

（2）求證：①四邊形為平行四邊形；②平行四邊形為菱形；

（3）除點外，直線與拋物線有無其它公共點？并說明理由．

Answer 1

證明：（1）法一：由題可知．

，，

．

，即為的中點．

法二：，，．

又軸，．

（2）①由（1）可知，，

，，

．

，

又，四邊形為平行四邊形．

②設，軸，則，則．

過作軸，垂足為，在中，

．

平行四邊形為菱形．

（3）設直線為，由，得，代入得：

  直線為．

設直線與拋物線的公共點為，代入直線關系式得：

，，解得．得公共點為．

所以直線與拋物線只有一個公共點．