Question

（2009•達州）如圖，拋物線y=a（x+3）（x-1）與x軸相交于A、B兩點（點A在點B右側），過點A的直線交拋物線于另一點C，點C的坐標為（-2，6）．
（1）求a的值及直線AC的函數關系式；
（2）P是線段AC上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點M，交x軸于點N．
①求線段PM長度的最大值；
②在拋物線上是否存在這樣的點M，使得△CMP與△APN相似？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標（不必寫解答過程）；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）c在拋物線上，將c代入解析式，就可求出a的值；A是拋物線與x軸的坐標，根據拋物線求出A點坐標，由A、C兩點坐標，利用待定系數法，可求出直線AC的函數關系式．
（2）設出p點的橫坐標m，p在直線上，然后用橫坐標m表示出p點的坐標，M與P的橫坐標相同，且M在拋物線上，同樣可用m表示出M點坐標，然后求出線段PM，最后根據PM長度的關系式判斷m為何值時，線段最長．
解答：解：（1）點C（-2，6）在拋物線y=a（x+3）（x-1）上
得6=a（-2+3）（-2-1）
∴a=-2（3分）
∴拋物線的函數解析式為y=-2（x+3）（x-1）
由題意得拋物線與x軸交于B（-3，0）、A（1，0）
設直線AC為y=kx+b，則有
0=k+b
6=-2k+b
解得k=-2，b=2
∴直線AC的函數解析式為y=-2x+2（6分）

（2）①設P的橫坐標為m（-2≤m≤1），則M的橫坐標是m．
P（m，-2m+2），M（m，-2m²-4m+6）（7分）
∴PM=-2m²-4m+6-（-2m+2）=-2m²-2m+4=
∴當m=-時，PM的最大值為（10分）
②存在，
∵∠CPM=∠APN
若∠CMP=∠ANP=90°
如圖1，則點M的縱坐標為6，
6=-2（x+3）（x-1），
x²+2x=0，
x（x+2）=0，
x₁=0，x₂=-2（舍），
則點M的坐標為（0，6），
如圖2，若∠PCM=∠ANP=90°，
過點C作與AC垂直的直線，則直線CM為：y=（x+2）+6，
聯立y=（x+2）+6與y=-2（x+3）（x-1），
（x+2）+6=-2（x+3）（x-1），
4x²+9x+2=0，
（x+2）（4x+1）=0，
x=-2（舍）或 x=-，
當x=-時，y=-2×（-+3）×（--1）=，
則點M的坐標為M（-，），
故M₁（0，6）、M₂（，）（14分）
點評：本題綜合考查了二次函數的與直線相交下，交點問題的計算，以及線段最長最短問題，三角形問題等．