Question

已知點H（-1，2）在二次函數y=x²-2x+m的圖象C₁上。
（1）求m的值；
（2）若拋物線C₂：y=ax²+bx+c與拋物線C₁關于y軸對稱，且Q₁（-2，q₁）、Q₂（-3，q₂）在拋物線C₂上，則q₁q₂（用“=”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”填空）。
（3）設拋物線C₂的頂點為M，拋物線C₁的頂點為N，請問在拋物線C₁或C₂上是否存在點P，使以點P、M、N為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵點H（-1，2）在拋物線上，
∴2=（-1）²-2×（-1）+m，
∴m=-1；
（2）q₁＜q₂，
由（1）知，C₁：==，
∴C₁的對稱軸為：直線x=1，頂點坐標為：（1，-2），
∵拋物線C₂：與C₁：關于y軸對稱，
∴C₂的解析式為：，，
又∵Q₁（-2，q₁），Q₂（-3，q₂）在拋物線C₂上，且在對稱軸x=-1的左側，
∴q₁＜q₂；
（3）存在這樣的點P，使以P，M，N為頂點的三角形是直角三角形，
由上述可知：M（-1，-2），N（1，-2），
① 當M為直角頂點時，點P在C₁上，
當x=-1時，y=2，
∴P（-1，2）；
② 當N為直角頂點時，點P在C₂上，
當x=1時，y=2，
∴P（1，2）；
③ 當P為直角頂點時，P（0，-1）；
綜上可知：點P的坐標為（-1，2）或（1，2）或（0，-1）。