Question

小明的筆記本上有一道二次函數的問題：“拋物線y=x²+bx+c的圖象過點A（c，0）且不過原點，…，求證：這個拋物線的對稱軸為直線x=3”；題中省略號部分是一段被墨水污沒了的內容，無法辨認其中的文字．
（1）根據現有信息，你能否求出此二次函數的解析式？若能，請求出；若不能，請說明理由；
（2）請你把這道題補充完整．

Answer 1

分析：（1）不能唯一確定這個二次函數解析式，因為拋物線y=x²+bx+c的圖象過點A（c，0）且不過原點，所以c²+bc+c=0，c≠0，即得b+c+1=0，再沒有其他信息確定，所以不能；
（2）因為這個拋物線的對稱軸為直線x=3，所以-

b

2a

=3．由此可以確定a、b、c之間的關系．可以補充能夠確定c的條件即可．

解答：解：（1）既然結論正確，
就可由-

b

2a

=3，若a=1，則b=-6，
∴y=x²-6x+c，
即y=（x-3）²+c-9，
∵圖象不經過原點，
所以c≠9，因此根據現有信息要唯一確定這個二次函數解析式是不行的；

（2）可以補充條件：①拋物線與x軸的交點坐標為B（1，0）和C（5，0）；
②拋物線經過點（4，2）并且有最小值1．（答案不唯一）

點評：此題是開放性試題，考查函數圖形及性質的綜合運用，對考查學生所學函數的深入理解、掌握程度具有積極的意義，其解答思路滲透了數形結合的數學思想．