Question

如圖，有一半徑為2的圓形紙片，從中畫出一個扇形ABC（陰影部分），且∠BAC=60°．
（1）若隨機地往圓內投一粒米，求米粒落在陰影部分的概率；
（2）若剪下扇形ABC并用它圍成一個圓錐，求該圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）連OA，作OD⊥AC于D，根據垂徑定理得到AD=DC，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到AC=2

3

，再利用扇形的面積公式可計算出S_陰影部分=

60•π•(2 3 )2

360

=2π，而⊙O的面積=π•2²=4π，然后利用概率的定義即可得到米粒落在陰影部分的概率；
（2）先根據弧長公式計算出弧BC的長=

60•π•2 3

180

=

2 3

3

π，然后根據圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長計算該圓錐的底面圓的半徑．

解答：解：連OA，作OD⊥AC于D，如圖，
則AD=DC，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

1

2

OA=

1

2

×2=1，
∴AD=

3

，
∴AC=2

3

，
∴S_陰影部分=

60•π•(2 3 )2

360

=2π，
而⊙O的面積=π•2²=4π，
∴米粒落在陰影部分的概率=

2π

4π

=

1

2

；

（2）∵弧BC的長=

60•π•2 3

180

=

2 3

3

π，
∴圓錐的底面圓的半徑=

2 3 3 π

2π

=

3

3

．

點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了弧長公式和扇形的面積公式．