Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，射線OA交反比例函數y=$\frac{1}{x}$（x＞0）圖象于點P，點R為反比例函數y=$\frac{1}{x}$（x＞0）圖象上的另一點，且PR=2OP，分別過點P、R作x軸、y軸的平行線，兩線相交于點M（a，b），直線MR交x軸于點B，過點P作y軸的平行線分別交直線OM和x軸于點Q、H，連接RQ．
（1）求出點P、R的坐標和直線OM 的解析式（用含a、b 的式子表示）；
（2）試探究∠MOB和∠AOB之間的數量關系，并說明理由；
（3）如果將反比例函數y=$\frac{1}{x}$（x＞0）改為y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）時，上述（2）中的結論是否成立是（填“是”或“否”）．

Answer 1

分析 （1）直接利用坐標的特點和反比例函數的解析式即可得出結論；
（2）先判斷出PR，MQ是矩形的對角線，進而得出∠PSO=2∠MOB，再由PR=2OP即可得出PS=OP，即：∠PSO=∠POS，最后代換即可得出結論；
（3）同（2）的方法．

解答 解：（1）∵MB⊥x軸，M（a，b），
∴B（a，0），R的橫坐標為a，
∵PM⊥y軸，
∴P的縱坐標為b，
∵點P，R在反比例函數y=$\frac{1}{x}$（x＞0）圖象上，
∴P（$\frac{1}{b}$，b），Q（a，$\frac{1}{a}$），
∵M（a，b），
∴直線OM解析式為y=$\frac{b}{a}$x，
（2）∠AOB=3∠MOB，
理由：由題意知，四邊形PQRM是矩形，PR，MQ是矩形對角線，
∴PS=RS=QS，
∴∠MQR=∠PRQ，
∴∠PSO=2∠MQR，
∵QR∥OB，
∴∠MQR=∠MOB，
∴∠PSO=2∠MOB，
∵PR=2OP，
∴PO=PS，
∴∠PSO=∠POS，
∴∠POS=2∠MOB，
∴∠AOB=∠POS+∠MOB=2∠MOB+∠MOB=3∠MOB，
即：∠AOB=3∠MOB，
（3）是成立，
理由：由題意知，四邊形PQRM是矩形，PR，MQ是矩形對角線，
∴PS=RS=QS，
∴∠MQR=∠PRQ，
∴∠PSO=2∠MQR，
∵QR∥OB，
∴∠MQR=∠MOB，
∴∠PSO=2∠MOB，
∵PR=2OP，
∴PO=PS，
∴∠PSO=∠POS，
∴∠POS=2∠MOB，
∴∠AOB=∠POS+∠MOB=2∠MOB+∠MOB=3∠MOB，
即：∠AOB=3∠MOB．

點評 此題是反比例函數綜合題，主要考查了反比例函數解析式，待定系數法，矩形的判定和性質，三角形的外角的性質，等腰三角形的性質，解本題的關鍵是得出，∠POS=2∠MOB，是一道中等難度的中考常考題．