Question

【題目】如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角.

（1）如圖2，在△ABC中，∠B>∠C，若經過兩次折疊，∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C的等量關系是_______；

（2）如果一個三角形的最小角是20°，則此三角形的最大角為______時，該三角形的三個角均是此三角形的好角。

Answer 1

【答案】 140°、120°或80°

【解析】

（1）根據折疊性質可得∠A1B1B2=∠C，∠AA1B1=∠B，由三角形外角性質可得∠AA1B1=2∠C，根據等量代換可得∠B=2∠C；（2）先求出經過三次折疊，∠BAC是△ABC的好角時，∠B與∠C的等量關系為∠B=3∠C，進而可得經過n次折疊，∠BAC是△ABC的好角時∠B與∠C的等量關系為∠B=n∠C，因為最小角是20，是△ABC的好角，根據好角定義，設另兩角分別為20m，4mn°，由題意得20m+20mn+20=180°，所以m(n+1)=8，再根據m、n都是正整數可得m與n+1是8的整數因子，從而可以求得結果．

（1）根據折疊性質得∠B=∠AA1B1，∠A1B1B2=∠C，

∵∠AA1B1=∠A1B1B2+∠C，

∴∠B=2∠C

故答案為：∠B=2∠C

（2）如圖：∵根據折疊的性質知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，

∴根據三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∵根據四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，

根據三角形ABC的內角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠B=3∠C；

∴當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；

故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；

∵最小角為20°，

∴設另兩個角為20m°和20mn°，

∴20°+20m°+20mn°=180°，即m(1+n)=8，

∵m、n為整數，

∴m=1，1+n=8；或m=2，1+n=4；或m=4，1+n=2.

解得：m=1，n=7；m=2，n=3，m=4，n=1，

∴另兩個角為20°、140°或40°、120°或80°、80°，

∴此三角形最大角為140°、120°或80°時，三個角均是此三角形的好角.

故答案為：140°、120°或80°