Question

（2002•鹽城）已知：如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC的中點，E為AC上一點，點G在BE上，連接DG并延長交AE于F，若∠FGE=45°．
（1）求證：BD•BC=BG•BE；
（2）求證：AG⊥BE；
（3）若E為AC的中點，求EF：FD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，易證△GBD∽△CBE，得，即BD•BC=BG•BE；
（2）可通過證明ABG∽△EBA從而求得AG⊥BE；
（3）首先連接DE，E是AC中點，D是BC中點，得出DE∥BA，因為BA⊥AC，所以 DE⊥AC設AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延長線于H，再利用△AEG≌△CEH，以及△DEF∽△BHC得出即可．
解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴
即BD•BC=BG•BE；

（2）證明：∵BD•BC=BG•BE，∠C=45°，
∴BG====，
∴=，∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；

（3）解：連接DE，
連接DE，E是AC中點，D是BC中點，
∴DE∥BA，
∵BA⊥AC，
∴DE⊥AC，設AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延長線于H，
∵∠AEG=∠CEH，∠AGE=∠CHE，AE=EC
∴△AEG≌△CEH（AAS），
∴CH=AG，
∠GAE=∠HCE
∵∠BAE為直角，
∴BE=a，
∴AG=AB×=a=a，
∴CH=a，
∵AG⊥BE，∠FGE=45°，
∴∠AGF=45°=∠ECB，
∵∠FGE=45°，
∴∠AGE=90°，
∴AG∥CH，
∴∠GAE=∠HCE，
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB；
∴∠DFE=∠BCH，
又∵DE⊥AC，CH⊥BE，
∴△DEF∽△BHC
∴EF：DF=CH：BC=a：2a=．
點評：考查相似三角形的判定和性質，通常情況乘積可以轉化成比例的形式．