Question

（2002•鹽城）已知：如圖，在平面直角坐標系中，過點A（0，2）的直線AB與以坐標原點為圓心，為半徑的圓相切于點C，且與x軸的負半軸相交于點B．
（1）求∠BAO的度數；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若一拋物線的頂點在直線AB上，且拋物線的頂點和它與x軸的兩個交點構成斜邊長為2的直角三角形，求此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A點的坐標，即可得出OA的長，由于AB與圓O相切，因此OC⊥AB，可在直角三角形OAC中，根據OA的長和圓的半徑求出∠BAO的度數．
（2）已知了∠BAO的度數和OA的長，可在直角三角形BOA中用三角函數求出OB的長，即可得出B點的坐標，進而可用待定系數法求出直線AB的解析式．
（3）根據拋物線的對稱性可知，拋物線的頂點和它與x軸的兩個交點構成的直角三角形應該是等腰直角三角形，已知了這個等腰直角三角形的斜邊長為2，那么斜邊上的高應該是1，即拋物線頂點的縱坐標的絕對值為1．因此可根據直線AB的解析式設出拋物線的頂點坐標，然后根據拋物線頂點縱坐標絕對值為1求出拋物線的頂點坐標，因此來求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）∵AB與⊙O相切
∴OC⊥AB
在直角三角形OAC中，OC=，OA=2，
∴sin∠BAO==．
∴∠BAO=60°．

（2）在直角三角形BAO中，
∵∠BAO=60°，OA=2；
∴OB=2．
∴B（-2，0）．
設直線AB的解析式為y=kx+2．
則有：-2k+2=0，k=；
∴y=x+2．

（3）設拋物線的頂點坐標為（x，x+2）．
∴|1|=x+2
①1=x+2，x=-，
∴拋物線頂點坐標為（-，1）
設拋物線的解析式為y=a（x+）²+1，
∵拋物線的對稱軸為x=-，且與x軸兩交點的距離為2，
因此可得出兩交點坐標為（-1-，0）和（1-，0）
代入拋物線的解析式中可得：a=-1
∴拋物線的解析式為y=-（x+）²+1．
②-1=x+2，x=-3
∴拋物線頂點坐標為（-3，-1）
設拋物線的解析式為y=a（x+3）²-1，
∵拋物線的對稱軸為x=-3，且與x軸兩交點的距離為2，
因此可得出兩交點坐標為（-1-3，0）和（1-3，0）
代入拋物線的解析式中可得：a=1
∴拋物線的解析式為y=（x+3）²-1．
綜上所述，拋物線的解析式為：y=-（x+）²+1和y=（x+3）²-1．
點評：本題考查了解直角三角形的應用、切線的性質、一次函數解析式的確定以及二次函數的相關知識等知識點．