Question

已知關于x的一元二次方程 （m-2）x²-（m-1）x+m=0．（其中m為實數(shù)）
（1）若此方程的一個非零實數(shù)根為k，
①當k=m時，求m的值；
②若記為y，求y與m的關系式；
（2）當＜m＜2時，判斷此方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于k為此方程的一個實數(shù)根，故把k代入原方程，即可得到關于k的一元二次方程，
①把k=m代入關于k的方程，即可求出m的值；
②由于k為原方程的非零實數(shù)根，故把方程兩邊同時除以k，便可得到關于y與m的關系式；
（2）先求出根的判別式，再根據(jù)m的取值范圍討論△的取值即可．
解答：解：（1）∵k為（m-2）x²-（m-1）x+m=0的實數(shù)根，
∴（m-2）k²-（m-1）k+m=0．+
①當k=m時，
∵k為非零實數(shù)根，
∴m≠0，方程兩邊都除以m，得（m-2）m-（m-1）+1=0．
整理，得m²-3m+2=0．
解得m₁=1，m₂=2．
∵（m-2）x²-（m-1）x+m=0是關于x的一元二次方程，
∴m≠2．
∴m=1．
②∵k為原方程的非零實數(shù)根，
∴將方程兩邊都除以k，得．
整理，得．
∴．

（2）解法一：△=[-（m-1）]²-4m（m-2）=-3m²+6m+1=-3m（m-2）+1．
當＜m＜2時，m＞0，m-2＜0．
∴-3m（m-2）＞0，-3m（m-2）+1＞1＞0，△＞0．
∴當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根．
解法二：直接分析＜m＜2時，函數(shù)y=（m-2）x²-（m-1）x+m的圖象，
∵該函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，
∴該拋物線必與x軸有兩個不同交點．
∴當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根．
解法三：△=[-（m-1）]²-4m（m-2）=-3m²+6m+1=-3（m-1）²+4．
結合△=-3（m-1）²+4關于m的圖象可知，（如圖）
當＜m≤1時，＜△≤4；
當1＜m＜2時，1＜△＜4．
∴當＜m＜2時，△＞0．
∴當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根．
點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式，解答此題的關鍵是熟知一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．