Question

如圖，已知AB⊥DB于B，CD⊥DB于D，AB=6，CD=4，BD=14，問：在DB上是否存在點P，使以C、D、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似？如果存在，求DP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：猜想：應存在．都是直角三角形，但不知道直角邊的對應關系，所以應分兩種情況：△PCD∽△APB；△PCD∽△PAB．
根據相似三角形的性質求解．

解答：解：存在．
①若△PCD∽△APB，則

CD

PB

=

DP

AB

，即

4

14-DP

=

DP

6

，解得DP=2或12；
②若△PCD∽△PAB，則

CD

AB

=

DP

PB

，即

4

6

=

DP

14-DP

，解得DP=5.6．
∴當DP=2或12或5.6時，△PCD與△PAB相似．

點評：此題考查了相似三角形的性質．此類題通常先作肯定的猜想，再根據性質求解．此題因沒明確對應關系，所以需分類討論．