Question

在△ABC中，點O是AC邊上一動點，點P在BC延長線上，過點O的直線DE∥BC交∠ACB與∠ACP的平分線于點D、E．
（1）點O在什么位置時，四邊形ADCE是矩形？說明理由．
（2）在（1）的條件下，當AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCE是正方形？為什么？

Answer 1

解：（1）當O為AC的中點則四邊形ADCE是矩形；
理由：∵CE平分∠ACP，
∴∠ACE=∠PCE，
∵DE∥BC，
∴∠OEC=∠ECP，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OD，
∴OD=OE．
∵AO=CO，EO=DO，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
∵DC、CE是∠ACB與∠ACP的平分線，
∴∠DCE=90°，
∴四邊形AECF是矩形；

（2）當AC⊥BC時，四邊形ADCE是正方形．
理由：∵∠BCA=90°，
∵DE∥CB，
∴∠DOA=90°，
則DE⊥AC，
∴矩形AECF是正方形．
分析：（1）根據CE平分∠ACP，DE∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECP，再根據等邊對等角得OE=OC，同理OC=OD，可得EO=DO，再有條件AO=CO，可得到四邊形ADCE為平行四邊形，再證明∠DCE=90°，可利用矩形的判定解答，即有一個內角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）利用正方形的判定得出DE⊥AC，進而得出答案．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定以及正方形的判定等知識，解決問題的關鍵是證明EO=DO和∠DCF=90°．