Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足為點D．M為邊AB上任意一點，點N在射線CB上（點N與點C不重合），且MC=MN．設AM=x．
（1）如果CD=3，AM=CM，求AM 的長；
（2）如果CD=3，點N在邊BC上．設CN=y，求y與x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）如果∠ACB=90°，NE⊥AB，垂足為點E．當點M在邊AB上移動時，試判斷線段ME的長是否會改變？說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰三角形的性質可知AD=AB=4，根據勾股定理可求出AC=5，再通過證明△ACM∽△ABC，由相似三角形的性質可得，進而求出AM的長；
（2）過點M作MF⊥BC，垂足為點F．由  AM=x，得  BM=8-x，又因為∠A=∠B，所以△MBF∽△ACD，由相似三角形的性質可知：，進而求出y與x的函數解析式，并寫出函數的定義域即可；
（3）當點M在邊AB上移動時，線段ME的長不變，ME=4是定值，此題要分（ⅰ）如果點N在邊BC上，可知點M在線段AD上；（ⅱ）如果點N在邊CB的延長線上，可知點M在線段BD上，且點E在邊AB的延長線上兩種情況討論分別求出ME=4．
解答：解：（1）∵AC=BC，∴∠A=∠B．
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴．
由勾股定理，得  ．
∵AM=CM，
∴∠A=∠ACM．
即得∠ACM=∠B．
∴△ACM∽△ABC．
∴．
∴．即得  ．

（2）過點M作MF⊥BC，垂足為點F．
由  AM=x，得  BM=8-x．
∵MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB=∠ADC=90°．
又∵∠A=∠B，
∴△MBF∽△ACD．
∴．即得  ．
∴．
∴．
∵MC=MN，MF⊥BC，
∴．
即得  ．
定義域為  ；

（3）當點M在邊AB上移動時，線段ME的長不變，ME=4．
由點N在射線CB上，可知點N在邊BC上或點N在邊CB的延長線上．
（ⅰ）如果點N在邊BC上，可知點M在線段AD上．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
又∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4．
即得∠BCD=45°．
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
又∵CD⊥AB，NE⊥AB，
∴∠CDM=∠MEN=90°．
∴△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
（ⅱ）如果點N在邊CB的延長線上，可知點M在線段BD上，且點E在邊AB的延長線上．
于是，由∠ABC=∠MNC+∠BMN=45°，
∠BCD=∠MCD+∠MCN=45°，
∠MCN=∠MNC，
得∠MCD=∠BMN．
再由  MC=MN，∠CDM=∠MEN=90°，
得△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
∴由（ⅰ）、（ⅱ）可知，當點M在邊AB上移動時，線段ME的長不變，ME=4．
點評：本題考查了等腰三角形的性質、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質以及全等三角形的判定和性質和分類討論的數學思想，題目的綜合性強、難度大一道不錯的中考壓軸題．