Question

如圖，⊙O的直徑CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC=4：1，則AB的長是（　　）

• A．2
• B．8
• C．16
• D．

  91

Answer 1

分析：連接OA，由直徑DC與弦AB垂直，根據垂徑定理得到M為AB的中點，要求AB只需求出AM即可，AM放在直角三角形AOM中，先由DC的長及DM與MC的比值，求出DM與MC的長，且求出半徑OD及OA的長，進而利用DM-OD求出OM的長，在直角三角形AOM中，由OA和OM的長，利用勾股定理求出AM，最后利用AB=2AM即可求出AB的長．

解答：解：連接OA，如圖，
∵DC⊥AB，且DC為圓O的直徑，
∴M為AB中點，即AM=BM=

1

2

AB，
又∵CD=10，DM：MC=4：1，
∴DM=

4

5

DC=8，MC=

1

5

DC=2，且OA=OD=5，
∴OM=DM-OD=8-5=3，
在Rt△AOM中，根據勾股定理得：OA²=OM²+AM²，
即AM=

OA2-OM2

=4，
則AB=2AM=8．
故選B．

點評：此題考查了垂徑定理，比例的性質以及勾股定理，在遇到直徑與弦垂直時，常常利用垂徑定理得出直徑平方弦，且由圓的半徑，弦心距及弦的一半構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題，故連接OA是本題的突破點．