Question

（1）10個外徑為1dm的鋼管以如圖方式堆放，為了防雨，需搭建防雨棚，這個防雨棚的高度最低應為多少dm？（取準確值）
（2）容易發現，前3層的和為6，前4層的和為10，按這樣的方式堆放，能放120根嗎？如果能，應堆多少層？如果不能，說明理由．
（3）如果每層的擺放依次為1、3、5、7…2n-1根，你能探究出前幾層的和的規律嗎？

Answer 1

分析：根據兩圓外切兩圓心之間的距離等于兩半徑之和，本題可構成一等邊三角形，要求雨棚的高度，還須加上第一層鋼管上面的一個半徑和第四層鋼管下面的一個半徑．根據圖形結合題中所給數據，發現規律可解答第（2）和（3）題．

解答：解：（1）10根鋼管按如圖的方式堆放，可理解為圓與圓外切的關系，
∵鋼管的外徑為1dm，
∴連接第一層和第四層左右兩根鋼管的圓心，可構成邊長為3dm的等邊三角形，該等邊三角形的高為

3  3

2

dm，雨棚的高應還加上第一層鋼管上面的一個半徑和第四層鋼管下面的一個半徑，
∴雨棚的最低高度為（

3  3

2

+1）dm．

（2）設按此方式堆放了n層，則總鋼管的根數s=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
當s=120時，有方程

n(n+1)

2

=120，解此方程得：n₁=15，n₂=-16．（∵-16不合題意，∴舍去）
故能堆120根，應堆15層．
（3）如果每層的擺放依次為1，3，5，7，…2n-1根，
則前n層的和為s=1+3+5+7+…+（2n-1）=

n[1+(2n-1)]

2

=n²．

點評：根據題中所給數據，結合圖形進行分析，尋找規律對題目進行解答．