Question

（2013•南昌模擬）如圖：等腰直角△ABC放置在直角坐標系中，∠BAC=90°，AB=AC，點A在x軸上，點B的坐標是（0，3），點C在第一象限內，作CD⊥x軸．
（1）求證：△AOB≌△CDA；
（2）若點C恰好在曲線y=

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上，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據直角三角形的性質得出∠1=∠4，∠2=∠3，再由ASA定理即可得出結論；
（2）由△AOB≌△ACD可知OA=CD，AD=OB=3，設OA=m，則C（m+3，m），再根據點C在反比例函數y=

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的圖象上可知m（m+3）=10，由此可得出m的值，進而得出點C的坐標．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵CD⊥x軸，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵在△AOB與△CDA中，

∠1=∠4 AB=AC ∠3=∠2

∴△AOB≌△CDA（ASA）；

（2）解：∵△AOB≌△ACD，
∴OA=CD，AD=OB=3，
設OA=m，
∴C（m+3，m），
∵點C在反比例函數y=

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的圖象上，
∴m（m+3）=10，解得m₁=2，m₂=-5（舍去），
∴點C的坐標為（5，2）．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到全等三角形的判定于性質、反比例函數圖象上點的坐標特點等知識，難度適中．