Question

某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖所示，∠ACB=90°，BC=60米，∠A=36度．
（1）若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，請你在圖中畫出入口E到C點的最短路線，并求出最短路線CE的長．（保留整數）
（2）若線段CD是一條水渠，并且D點在邊AB上，已知水渠造價為50元/米，水渠路線應如何設計才能使造價最低，請你畫出水渠路線，并求出最低造價．

Answer 1

解：（1）最短路線如圖所示：
CE為Rt△ABC斜邊上的中線
在Rt△ABC中，∠A=36°，BC=60米，
AB=≈102（米）
CE=AB=51（米）

（2）若要水渠造價最低，則水渠應與AB垂直，如圖所示CD⊥AB
在Rt△BCD中，∠B=54°，BC=60米CD=BC•sin54°=60×0.809=48.54
造價：50×CD=2427元．
分析：（1）E與A、B等距離應是AB的中點，CE的最短距離應是線段CE的長度，它等于AB的一半．利用∠A是正弦值即可求得AB長．
（2）點C到AB的最短距離應是點C到AB的垂線段的長度，利用∠B的正弦值即可求得CD長．
點評：本題考查銳角三角函數的運用；點到直線的最短距離應是這點到這條直線的垂線段的長度；應盡量使用題中已知的線段求解．