Question

閱讀下列材料：
已知三個數a、b、c，我們可以用M（a，b，c）表示這三個數的平均數，用max（a，b，c）表示這三個數中最大的數．
例如：M（-2，1，5）=

-2+1+5

3

=

4

3

； max（-2，1，5）=5；max（-2，1，a）=

a(a≥1) 1(a＜1)

解決下列問題：
（1）填空：①M（-3，-2，10）=

 

；
②max（tan30°，sin45°，cos60°）=

 

；
③如果max（2，2-2a，2a-4）=2，那么a的取值范圍是

 

；
（2）如果M（2，a+1，2a）=max（2，a+1，2a），求a的值；
（3）請你根據（2）的結果，繼續探究：如果M（a，b，c）=max（a，b，c），那么

 

（填a、b、c的大小關系），并證明你的結論；
（4）運用（3）的結論填空：
如果M（2a+b+2，a+2b，2a-b）=max（2a+b+2，a+2b，2a-b），那么a+b=

 

．

Answer 1

分析：（1）由給出的平均數和最大數進行填空即可；
（2）分兩種情況列出等式，求得a的值即可；
（3）不妨假設max（a，b，c）=a，可證得a=b=c；
（4）列式求得a、b，再代入a+b即可．

解答：解：（1）①

5

3

；
②

2

2

（填sin45°也正確）；
③0≤a≤3

（2）當M（2，a+1，2a）=

2+a+1+2a

3

=a+1=max（2，a+1，2a）
∴

a+1≥2① a+1≥2a②

解得：a=1

（3）a=b=c
證明：M（a，b，c）=

a+b+c

3

不妨假設max（a，b，c）=a那么

a≥b a≥c

∴a-b≥0且a-c≥0，
∵M（a，b，c）=max（a，b，c），
∴

a+b+c

3

=a
∴2a-b-c=0，
∴a=ba=c，即a=b=c（其它兩種情況同理）

（4）-4

點評：本題是一個新定義的題目，考查了一元一次不等式的應用和特殊角的三角函數值，難度較大．