Question

閱讀下列材料：
已知三個數a、b、c，我們可以用M（a，b，c）表示這三個數的平均數，用max（a，b，c）表示這三個數中最大的數．
例如：M（-2，1，5）=； max（-2，1，5）=5；max（-2，1，a）=
解決下列問題：
（1）填空：①M（-3，-2，10）=______；
②max（tan30°，sin45°，cos60°）=______；
③如果max（2，2-2a，2a-4）=2，那么a的取值范圍是______；
（2）如果M（2，a+1，2a）=max（2，a+1，2a），求a的值；
（3）請你根據（2）的結果，繼續探究：如果M（a，b，c）=max（a，b，c），那么______（填a、b、c的大小關系），并證明你的結論；
（4）運用（3）的結論填空：
如果M（2a+b+2，a+2b，2a-b）=max（2a+b+2，a+2b，2a-b），那么a+b=______．

Answer 1

解：（1）①；
②（填sin45°也正確）；
③0≤a≤3

（2）當M（2，a+1，2a）==a+1=max（2，a+1，2a）
∴解得：a=1

（3）a=b=c
證明：M（a，b，c）=不妨假設max（a，b，c）=a那么
∴a-b≥0且a-c≥0，
∵M（a，b，c）=max（a，b，c），
∴
∴2a-b-c=0，
∴a=ba=c，即a=b=c（其它兩種情況同理）

（4）-4
分析：（1）由給出的平均數和最大數進行填空即可；
（2）分兩種情況列出等式，求得a的值即可；
（3）不妨假設max（a，b，c）=a，可證得a=b=c；
（4）列式求得a、b，再代入a+b即可．
點評：本題是一個新定義的題目，考查了一元一次不等式的應用和特殊角的三角函數值，難度較大．