Question

【題目】如圖，直線x=-4與x軸交于點E，一開口向上的拋物線過原點交線段OE于點A，交直線x=-4于點B，過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點C，直線OC交直線AB于D，且AD：BD=1：3．

（1）求點A的坐標；

（2）若△OBC是等腰三角形，求此拋物線的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（－2，0）。

（2）此拋物線的函數關系式為或。

【解析】

（1）過點D作DF⊥x軸于點F，由拋物線的對稱性可知OF=AF，則2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根據相似三角形對應邊成比例得出 ，即AE=2AF②，①與②聯立組成二元一次方程組，解出AE=2，AF=1，進而得到點A的坐標。

（2）先由拋物線過原點（0，0），設此拋物線的交點式為，再根據拋物線過原點（0，0）和A點（－2，0），求出對稱軸為直線x=-1，則由B點橫坐標為-4得出C點橫坐標為2，BC=6．再由OB＞OC，可知當△OBC是等腰三角形時，可分兩種情況討論：①當OB=BC時，設B（－4，y1），列出方程，解方程求出y1的值，將B點坐標代入，運用待定系數法求出此拋物線的解析式；②當OC=BC時，設C（2，y2），列出方程，解方程求出y2的值，將C點坐標代入，運用待定系數法求出此拋物線的解析式。

解：（1）如圖，過點D作DF⊥x軸于點F，

由題意，可知OF=AF，則2AF+AE=4①。

∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE。

∴，即AE=2AF②。

①與②聯立，解得AE=2，AF=1。

∴點A的坐標為（－2，0）。

（2）∵拋物線過原點（0，0）和點A（－2，0），

∴可設此拋物線的解析式為，且對稱軸為直線x=－1。

∵B、C兩點關于直線x=－1對稱，B點橫坐標為－4，∴C點橫坐標為2。

∴BC=2－（－4）=6。

∵拋物線開口向上，∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC。

∴當△OBC是等腰三角形時，分兩種情況討論：

①當OB=BC時，設B（－4，y1），則，解得（負值舍去）。

∴B（－4，）。

將B（－4，）代入，得，解得。

∴此拋物線的解析式為，即。

②當OC=BC時，設C（2，y2），則，解得（負值舍去）。

∴C（2，）。

將A C（2，）代入，得得，解得。

∴此拋物線的解析式為，即。

綜上所述，若△OBC是等腰三角形，此拋物線的函數關系式為或。