Question

如圖，兩圓內切于點P，大圓的弦AB切小圓于點C，PC的延長線交大圓于點D．

求證：(1)∠APD=∠BPD ；

(2)PA·PB=PC²+AC·CB．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)過點P作兩圓的公切線MN． ∵　MN與AB均為小圓的公切線，∴　∠NPC=∠BCP． ∵　∠NPC=∠NPB+∠BPC，∠BCP=∠PAC+∠APC， 又∠NPB=∠PAB=∠PAC，∴　∠NPB+∠BPC=∠PAC+∠APC． ∴　∠BPC=∠APC，即∠BPD =∠APD． (2)連結AD．由(1)知，∠DPA=∠BPC， 又∵　∠ADP=∠CBP，∴　△PDA∽△PBC， ∴　， 即PA·PB=PC·PD． ∵　PA·PB=PC·PD=(PC+CD)·PC=PC2+CD·PC， 又PC·CD=AC·BC，∴　PA·PB=PC2+AC·BC．

提示：

(1)因為∠PAC+∠APC=∠PCB=∠NPB+∠CPB，所以只要證明∠PAC=∠NPB即可． (2)要證明PA·PB=PC2+AC·CB，根據相交弦定理，得AC·BC=PC·CD，即證PA·PB=PC2+PC·CD=PC(PC+CD)=PC·PD．只需證△PDA∽△PBC即可． 兩圓相切時，常作公切線(內切時，常作外公切線；外切時，常作內公切線)，兩圓的公切線使兩圓有公共的弦切角或相等的弦切角，從而把兩個圓中的角聯系起來．