Question

已知；如圖，兩圓內切于點P，大圓的弦AB切小圓于點C，PC的延長線交大圓于點D．
求證：
（1）∠APD=∠BPD；
（2）PA•PB=PC²+AC•CB．

Answer 1

證明：（1）過P作兩圓的公切線MN．
∵MN與AB均為小圓切線，
∴∠NPC=∠BCP．
∵∠NPC=∠NPB+∠BPC，∠BCP=∠PAC+∠APC，
而∠NPB=∠PAB=∠PAC，
∴∠NPC-∠BCP=∠NPB+∠BPC-∠PAC-∠APC，
∴∠BPC=∠APC，即∠BPD=∠APD．

（2）連接AD．
在△PDA和△PBC中，由（l）可知∠DPA=∠BPC，
又∵∠ADP=∠CBP，
∴△PDA∽△PBC．
∴=．
即PA•PB=PD•PC．
∵PD•PC=（PC+CD）•PC=PC2+PC•CD，
又∵PC•CD=AC•BC，
∴PC•PD=PC²+AC•BC，
∴PA•PB=PC²+AC•BC．
分析：（1）過P作兩圓的公切線MN．根據弦切角定理和三角形的外角的性質進行證明；
（2）連接AD．根據兩個角對應相等，得到△PDA∽△PBC，從而得到PA•PB=PD•PC；再進一步結合代數式的變形和相交弦定理進行轉換證明．
點評：作兩圓的公切線是兩圓相切時常見的輔助線．綜合運用了弦切角定理、三角形的外角的性質、相似三角形的判定和性質以及相交弦定理．注意數形結合的思想，能夠熟練對代數式進行變形．