Question

（本題滿分10分）如圖，在中，，，．點、都是斜邊上的動點，點從向運動（不與點重合），點從向運動，．點、分別是點、以、為對稱中心的對稱點，于，交于點．當點到達頂點時，、同時停止運動．設的長為，的面積為．

（1）求證：∽；

（2）求關于的函數解析式；

（3）當為何值時，為等腰三角形?

Answer 1

（1）證明有兩組角對應相等，過程略；（2）；

（3）或或或

【解析】

試題分析：（1）由點對稱可得，再加上和，即可利用兩組角對應相等得到兩個三角形相似；（2）要求的面積，需求得和，根據相似三角形的相似比，可得，而要求，需分類討論，臨界點為，所以分成和分別求解，最后寫成分段函數即可；（3）同（2），仍需要分成和分別討論，而在每一種情況下還需要對等腰三角形哪兩邊相等進行分類討論.

試題解析：（1）、關于點成中心對稱， ，

∽

（2）①如圖，當時，，由相似得

此時

②如圖，當時，，由相似得

此時

關于的函數解析式為.

（3）①如圖，當時，

Ⅰ）若，由相似得，又， ；

Ⅱ），顯然、不可能；

②如圖，當時，

Ⅰ）若，由相似得，又， ；

Ⅱ）若，此時點、分別與、重合，；

Ⅲ）若，則∽，，，

綜上，當或或或時，是等腰三角形.

考點：1.相似三角形的判定及性質；2.點對稱的性質；3. 分類討論.