Question

（2005•湘潭）如圖，已知=，∠APC=60度．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若BC=4cm，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等弧對等弦和等弧所對的圓周角相等，證明得到有一個角是60度的等腰三角形即是等邊三角形；
（2）根據等邊三角形的性質構造一個30度的直角三角形，運用垂徑定理和銳角三角函數計算．
解答：（1）證明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又，
∴∠ACB=∠ABC=60°
∴△ABC為等邊三角形；

（2）解：連接OC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，
∵△ABC為等邊三角形，點O△ABC的內心，
∴OC是∠ACB的平分線，
∴∠OCD=30°，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
∴OC=，
∴S_⊙O=π•OC²=．
點評：熟練掌握圓周角定理的推論和等弧對等弦，掌握等邊三角形的性質和判定．